Permutazioni e combinazioni: 11 fatti che dovresti sapere

Permutazioni e combinazioni

 Permutazioni e combinazioni, questo articolo discuterà il concetto di determinazione, oltre al calcolo diretto, il numero di possibili risultati di un particolare evento o il numero di elementi impostati, permutazioni e combinazioni che sono il metodo di calcolo principale nell'analisi combinatoria.

Errori comuni durante l'apprendimento di permutazioni e combinazioni

C'è sempre confusione tra gli studenti permutazioni e combinazioni perché entrambi sono legati al numero della disposizione di oggetti diversi e al numero del possibile esito di un particolare evento o al numero di modi per ottenere un elemento da un insieme. Il tema della permutazione e combinazione con esempi e la differenza tra loro con giustificazione sarà discussa qui.

Una tecnica semplice e pratica per ricordare la differenza tra i permutazioni e combinazioni è: una permutazione è correlata all'ordine significa che la posizione è importante nella permutazione mentre la combinazione non è correlata all'ordine significa che la posizione non è importante in combinazione.

Prima della discussione di permutazioni e combinazioni, abbiamo bisogno di alcuni prerequisiti, che vengono usati frequentemente.

 Cos'è Fattoriale

          Il fattoriale è il prodotto degli interi positivi da 1 an (contando 1 en) indicati con n! e letto come n fattoriale è descritto come di seguito

n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(nr)!

Attenzione 0! = 1 

0! = 1

1! = 1

n🇧🇷 🇧🇷 n(nl)!

es. 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

Metodi di conteggio (principio di moltiplicazione e addizione)

      Principio di addizione: Se non possono verificarsi due eventi contemporaneamente, uno degli eventi può verificarsi in

n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・. sempre

      Principio di moltiplicazione: Considerando che se gli eventi si sono susseguiti, allora tutti gli eventi possono accadere nell'ordine indicato in:

n1.n2.n3...modi

Esempio: Se un Istituto gestisce 7 diversi corsi d'arte, 3 diversi corsi tecnici e 4 diversi corsi fisici.

Se uno studente desidera iscriversi a uno di ciascun tipo di corso, il numero di modi sarebbe

m = 7.3.4 = 84

Se uno studente vuole iscriversi solo a uno dei corsi, allora il numero di modi sarebbe

n = 7 + 3 + 4 = 14

Cos'è la permutazione

Vengono chiamati i diversi posizionamenti degli oggetti Permutazioni, dove l'ordine della disposizione è importante. Qualsiasi posizionamento di un insieme di n oggetti diversi in un determinato ordine sono chiamati a permutazione dell'oggetto.

        Considera un esempio dell'insieme di lettere {P, Q, R, S}, quindi

  Alcune delle permutazioni dei quattro alfabeti presi 4 a colpo d'occhio sono QSRP, SRQP e PRSQ

Qualsiasi ordinamento di qualsiasi r <= n di questi particolari oggetti in un ordine specifico è chiamato “r-permutazione" o "una permutazione di nooggetti presi r Al tempo.

Fondamentalmente ci piace quel numero di tali permutazioni senza fissarle.

Esempio di formula di permutazione

Il numero di permutazioni di n oggetti diversi presi r alla volta sarà indicato da

nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(N-r)!

In matematica questo è indicato in modi diversi, alcuni di essi sono menzionati di seguito:

P (n, r), nPr, Pn, r o (n) r

ESEMPIO: Calcola il numero m di permutazioni di sei oggetti, diciamo A, B, C, D, E, F presi tre a colpo d'occhio.

Soluzione:   Qui n=6, r=3, m=?

nPr = n!/(nr)!

m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120

Quindi m = 120

ESEMPIO: Quante parole possono essere generate utilizzando 2 lettere dalla parola "MATHS"?

Soluzione: qui n = 5, r = 2, m =?

nPr = n!/(nr)!

m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20

quindi il numero di parole richiesto è 20.

Cosa intendi per combinazione?

A combinazione per n elementi diversi presi r alla volta è qualsiasi selezione di elementi r-esimi in cui gli ordini non vengono considerati. Tale selezione è chiamata an combinazione r. In breve, a pelle mista è una selezione in cui l'ordine degli oggetti selezionati non è importante.

      Il pelle mista fornisce il numero di modi in cui un particolare insieme può essere organizzato, dove l'ordine della disposizione non ha importanza.

 Per capire la situazione della combinazione, considera l'esempio

Venti persone arrivano in una sala e tutti stringono la mano a tutti gli altri. Come possiamo ottenere il numero di strette di mano? "A" che stringe la mano a B e B ad A non saranno due diverse strette di mano. Qui, l'ordine della stretta di mano non è importante. Il numero di strette di mano sarà la combinazione di 20 cose diverse prese 2 alla volta.

Formula di combinazione con un semplice esempio

       Il numero di tali combinazioni sarà indicato da

CodeCogsEqn

A volte è anche indicato con C(n,r), nCr , Cn, r o Crn

Esempio: Una classe contiene 10 studenti con 6 uomini e 4 donne. Trova il numero n di modi per scegliere un comitato di 4 membri tra quegli studenti.

Ciò è correlato alle combinazioni, non alle permutazioni, poiché l'ordine non è un fattore importante in un comitato. Ci sono "10 scegli 4" comitati di questo tipo. Questo è:

gif

qui n = 10, r = 4

CodiceCogsEqn 15

quindi in 210 modi possiamo scegliere tale comitato di 4 membri.

Esempio: Un contenitore ha 6 palline blu e 8 palline rosse. Identifica il numero di modi in cui è possibile estrarre due palline di qualsiasi colore dal contenitore.

Qui possibilmente “14 scegli 2” modi per selezionare 2 delle 14 palline. Così:

CodiceCogsEqn 16

Qui n = 14, r = 2

gif.latex?%5E%7B14%7DC %7B2%7D%20%3D%20%5Cbinom%7B14%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B14%21%7D%7B2%21%2814 2%29%21%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B14.13.12.%21%7D%7B2.1

quindi in 91 modi si possono disegnare due palline di qualsiasi colore.

Differenza tra permutazione e combinazione

La differenza tra permutazione e combinazione è brevemente fornita qui

Permutazione pelle mista
L'ordine è importante L'ordine non è importante
L'ordine conta L'ordine non conta
Utilizzato per accordi come l'elezione del presidente, del vicepresidente e del tesoriere Usato per la selezione come la selezione di squadre e comitati senza posizioni
Per l'elezione di prima, seconda e terza posizione specifica Per selezionare qualsiasi tre casuali
Per disporre le carte o le palline con posizione e colore Per selezionare qualsiasi colore e posizione
Differenza tra permutazioni e combinazioni

Dove applicare permutazioni e combinazioni

  Questo è il passaggio importante che dovrebbe essere tenuto presente che ogni volta che la situazione è per la disposizione, l'ordinamento e l'unicità dobbiamo usare Permutazione e ogni volta che la situazione è per la selezione, la scelta, il prelievo e la combinazione senza la preoccupazione dell'ordine, dobbiamo usare Combinazione. Se tieni queste basi nella tua mente non ci sarà confusione "cosa usare e cosa no" ogni volta che sorge una domanda.

Uso di permutazioni e combinazioni nella vita reale con esempi

Nella vita reale la permutazione e la combinazione sono usate quasi ovunque perché sappiamo che nella vita reale ci sarebbe una situazione in cui l'ordine è importante e da qualche parte l'ordine non è importante, in quelle situazioni dobbiamo usare il metodo corrispondente.

Per esempio

Trova il numero N di squadre di 11 con un determinato capitano che può essere selezionato da 26 giocatori.

Domande frequenti - FAQ

Cos'è fattoriale?

Il prodotto dei numeri interi positivi da 1 a n (inclusi 1 e n)

n! = 1.2.3… (n-2). (n-1). n

Cos'è una permutazione?

Viene chiamato il diverso ordinamento degli oggetti Permutazioni

Cos'è una combinazione?

     Il pelle mista fornisce il numero di modi in cui un set specifico può essere impostato, dove l'ordine della disposizione non è importante.

Applicazione di permutazioni e combinazioni nella vita pratica

Una permutazione viene utilizzata per la disposizione o la selezione di elenchi in cui l'ordine è importante e la combinazione viene utilizzata per la selezione o la scelta in cui l'ordine non è importante.

Formula di permutazione

nPr = n!/(nr)!

Formula combinata

CodiceCogsEqn 16 1

C'è qualche relazione tra permutazioni e combinazioni?

Sì,

nCr = nPr/r!

Possiamo usare permutazioni e combinazioni nella vita reale?

Sì,

Nella disposizione di parole, alfabeti, numeri, posizioni e colori ecc. Dove l'ordine è importante, verrà utilizzata la permutazione

Nella selezione del comitato, delle squadre, del menu e delle materie ecc. In cui l'ordine non è importante, verrà utilizzata una combinazione.

   Le brevi informazioni su permutazioni e combinazioni con la formula di base viene dato letto due o tre volte finché non si ottiene l'idea del concetto, in articoli consecutivi discuteremo in dettaglio i diversi risultati e le formule con opportuni esempi di permutazioni e combinazioni. Se vuoi approfondire, passa attraverso:

Per ulteriori argomenti sulla matematica, segui questo link.

Riferimenti:

1. SCHEMA DI TEORIA E PROBLEMI DELLA MATEMATICA DISCRETA DI SCHAUM

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/