Variabile casuale discreta e aspettativa matematica: 5 fatti

Variabile casuale discreta e aspettativa matematica

Di solito non siamo interessati a tutti i possibili risultati di qualsiasi esperimento casuale o non casuale, invece siamo interessati a qualche probabilità o valore numerico per gli eventi favorevoli, ad esempio supponiamo di lanciare due dadi per la somma di 8, quindi non lo siamo interessato al risultato come primo dado con 2 secondi dado come 6 o (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), ecc. allo stesso modo per il caso di esperimenti di giacimento nella vita quotidiana non siamo interessati all'aumento o diminuzione giornaliero del livello dell'acqua ma solo al livello dell'acqua della stagione delle piogge dopo il completamento.

Quindi tali quantità numeriche a cui siamo interessati sono considerate come variabili casuali del rispettivo esperimento casuale. A questo scopo assegniamo numericamente i possibili valori reali ai risultati dell'esperimento casuale. Per l'illustrazione dell'assegnazione di un valore numerico al risultato, si consideri l'esperimento del lancio di una moneta, si assegnano i valori numerici 0 e 1 rispettivamente per la testa e la traccia nello spazio campionario dell'esperimento casuale. 

Variabile casuale discreta

Variabile casuale discreta possono essere definite come variabili casuali che sono di numero finito o numerabile infinito e quelle che non sono finite o numerabili infinite sono variabili casuali non discrete. Per ogni elemento dello spazio campionario stiamo assegnando un numero reale, questo può essere interpretato in termini di funzione a valore reale denotata da X cioè X: S → R. Chiamiamo questa funzione una variabile casuale o una funzione stocastica, che ha un'importanza fisica, geometrica o di altro tipo.

Esempio: Considera un esperimento di lancio di due dadi, quindi supponi una variabile casuale o funzione stocastica rappresentano la somma dei punti apparsi sui dadi quindi i possibili valori per lo spazio campionario

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

sarà X = 2, per (1,1)

X = 3 per (1,2), (2,1) ecc. Da quanto segue possiamo facilmente capire

X = 2(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
X = 3(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
X = 4(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
X = 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
X = 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
X = 7X = 8X = 9X = 10X = 11X = 12

Nella tabella sopra gli elementi diagonali da destra a sinistra daranno la somma espressa dalla variabile casuale o funzione stocastica.

La probabilità per la rispettiva variabile casuale può essere espressa come segue

Variabile casuale discreta
Variabile casuale discreta: lancio di due spazi campione di dadi

Distribuzione discreta della probabilità

Distribuzione discreta di probabilità sono le probabilità delle variabili casuali che sono di natura discreta, in particolare se x1, X2, X3, X4, ………., Xk sono i valori di variabile casuale discreta X poi P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xk) sono le probabilità corrispondenti.

Funzione di probabilità / distribuzione di probabilità che possiamo indicare come 

P (X = x) = f (x)

e seguendo la definizione della probabilità questa funzione soddisfa le seguenti condizioni.

  1. f (x) ≥0
  2. Σ f (x) = 1, dove questa somma è la somma totale per x.

Esempio: Se una moneta viene lanciata due volte, se esprimiamo il numero di tracce come variabile casuale X, allora sarebbe 

RisultatiTTTHHTHH
X2110

Se prendiamo la moneta giusta, quanto sopra sarà il risultato per il lancio due volte e la probabilità per tale variabile casuale sarà

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X=1) = P (TH o HT) = P (TH ∪ HT) = P ( TH) + P ( HT)=1/4+1/4=1/2

e P (X=2) = P (TT) =1/4

Questa distribuzione di probabilità possiamo tabulare come segue

X012
P (X = x) = f (x)¼½1/4

Funzione di distribuzione cumulativa (cdf) / Funzione di distribuzione

Definiremo Funzione di distribuzione or Funzione di distribuzione cumulativa (cdf) per la variabile casuale discreta X indicata con F (x), per-∞≤x≤∞ come

F (x) = P (X≤x)

A condizione che segua

  1. Per ogni x,y , x≤y, F(x) ≤ F(y), cioè la funzione di distribuzione cumulativa F(x) non è decrescente.
  2. F (x) = 0 e F (x) = 1
  3. F (x + h) = F (x), ∀ x es. la funzione di distribuzione cumulativa F (x) è continua a destra.

Dal momento che per il variabile casuale discreta probabilità per X = x è P (X = x), per x1<X<x2 sarà P (x1<X<x2) e per X≤x è P (X≤x).

Possiamo scrivere la funzione di distribuzione per la funzione di distribuzione discreta come segue

Variabile casuale discreta
Variabile casuale discreta: funzione di distribuzione cumulativa

possiamo ottenere la funzione di probabilità dalla funzione di distribuzione come

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Esempio: Il probabilità per la variabile casuale discreta è data come segue

X01234567
P (x)01/101/51/53/101/1001/5017/100
Funzione di distribuzione cumulativa

Trova F2, F5, F (7)?

Soluzione:

Variabile casuale discreta
Variabile casuale discreta: esempio

Aspettativa matematica 

   Aspettativa matematica è un concetto molto importante per il teoria della probabilità oltre che dal punto di vista statistico è noto anche come aspettativa o valore atteso, può essere definito come la somma di variabili casuali e le sue probabilità moltiplicate, ovvero se x1, X2, X3, X4, ……….Xn sono i valori della variabile casuale discreta X quindi P (x1), P (x2), P (x3), P (x4),……….P(xn) sono le probabilità corrispondenti allora aspettativa matematica della variabile casuale X indicato con E(x) come

Variabile casuale discreta
Variabile casuale discreta: esempio

Esempio: Da un mazzo di 72 carte numerate da 1 a 72 alla volta vengono estratte 8 carte, trova il valore atteso della somma dei numeri sui biglietti estratti.

Soluzione: . considera le variabili casuali x1, X2, X3, X4,……….Xn che rappresentano le carte numerate 1, 2, 3, 4, ………, 72

quindi la probabilità di qualsiasi x su 72 carte è 

P (xi) = 1 / n = 1/72

da allora l'aspettativa sarà

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + xn. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Ora il valore atteso per 8 di queste carte sarà 

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + x8. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Varianza, Deviazione standard ed Deviazione del significato di Mathematical Expectation

Il concetti importanti della statistica deviazione standard ed varianza possiamo esprimere in termini di aspettativa matematica, quindi se le variabili casuali x1, X2, X3, X4, ……….Xn con le corrispondenti probabilità P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xn) allora la varianza sarà

Variabile casuale discreta
Variabile casuale discreta: deviazione standard

Esempio: In una partita, se viene utilizzato un dado equo e il giocatore vincerà se i dadi hanno un valore dispari e il premio in denaro riceverà Rs 20 se ne esce 1, Rs 40 per 3 e Rs 60 per 5 e se qualsiasi altra faccia è arrivata la perdita di Rs 10 per il giocatore. trova il denaro atteso che può essere vinto con varianza e deviazione standard.

Soluzione:

Per i dadi giusti conosciamo la distribuzione delle probabilità,

X123456
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
deviazione standard

Sia X la variabile casuale per la conversione dei dadi secondo il requisito del gioco denaro vinto o perso quando la faccia è come segue,

X+ 20 all'10 ottobre40 all'10 ottobre60 all'10 ottobre
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
deviazione standard

quindi l'importo previsto vinto da qualsiasi giocatore sarà

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

quindi l'importo previsto vinto da qualsiasi giocatore sarebbe μ = 15

Variabile casuale discreta
Variabile casuale discreta: deviazione standard

Il risultato dell'aspettativa matematica e della varianza può essere generalizzato per più di due variabili secondo il requisito.

Conclusione:

   In questo articolo abbiamo discusso principalmente la variabile casuale discreta, la distribuzione di probabilità e la funzione di distribuzione nota come funzione di distribuzione cumulativa cdf, anche il concetto di Aspettativa matematica per variabile casuale discreta e quale sarebbe la deviazione media, la varianza e la deviazione standard per tale variabile casuale discreta è spiegato con l'aiuto di esempi appropriati nel prossimo articolo discuteremo lo stesso per la variabile casuale continua, se si desidera ulteriori letture, passare attraverso:

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Schemi di probabilità e statistica di Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability