Teoria della probabilità: 7 fatti rapidi completi

La teoria della probabilità è emersa dal concetto di assumersi il rischio. ci sono molte complicazioni oggi che derivano dal gioco d'azzardo, come vincere una partita di calcio, giocare a carte e lanciare una moneta o lanciare un dado. 

La teoria della probabilità è utilizzata in molti settori diversi e la flessibilità di teoria della probabilità fornisce strumenti per quasi tante esigenze diverse. Qui discuteremo la teoria della probabilità e alcuni campioni con l'aiuto di alcuni concetti e risultati fondamentali.

ESPERIMENTI CASUALI:

"L'esperimento casuale è un tipo di esperimenti in cui il risultato non può essere previsto."

SPAZIO CAMPIONE: 

L'insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento è chiamato spazio campionario, di solito è indicato con S e si dice che tutti i risultati del test siano un punto campione.
Ad esempio: pensa all'esperimento casuale di lanciare 2 monete alla volta. Ci sono 4 risultati che costituiscono uno spazio campione indicato da, S = {HH, TT, HT, TH}

PERCORSO ED EVENTO:

Ogni sottoinsieme non vuoto di A dello spazio campionario S è chiamato evento. Considera l'esperimento per lanciare una moneta. Quando lanciamo una moneta, possiamo trovare una testa (H) o una coda (T). Qui lanciare una moneta è la scia e ottenere una testa o una coda è un evento.

EVENTI COMPOSTI: 

Gli eventi acquisiti combinando due o più eventi di base sono chiamati eventi composti o eventi scomponibili.

EVENTI ESAUSTIVI:

Il numero totale di risultati fattibili di qualsiasi percorso è chiamato eventi esaustivi.

Ad esempio: nel lancio di un dado i risultati potenziali sono 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6. Quindi abbiamo un totale di 6 eventi nel lancio del dado.

SISTEMA DI EVENTI MUTUALMENTE ESCLUSIVO ED ESAUSTIVO:

Sia S lo spazio campionario di un esperimento casuale, se X1, X2, …..Xn sono i sottoinsiemi di S ed

(io) Xi Xj =Φ per ij e (ii) X1 X2 ……… ∪ Xn =S

Quindi questa raccolta di X1X2 ……… ∪ Xn si dice che crei un sistema di eventi che si escludono a vicenda ed esauriente.

Cos'è l'indipendenza?

Quando tiriamo fuori una carta in una tasca di carte ben aggiustate e in secondo luogo estraiamo anche una carta dal resto del pacchetto di carte (contenente 51 carte), quindi la seconda estrazione si blocca sulla prima. Ma se, invece, estraiamo la seconda carta dal mazzo inserendo la prima carta pescata (in sostituzione), la seconda estrazione è detta indipendente dalla prima.

Esempio:  Vengono lanciate due monete. Lascia che la prima moneta con testa sia l'evento X e la Y sia la seconda moneta che mostra la coda dopo il lancio. Due eventi X e Y sono sostanzialmente indipendenti.

Esempio:   Vengono pescati due dadi equilibrati. Se il numero dispari arriva sul primo dado consideralo come evento X e per il secondo numero pari come evento Y.

I due eventi X e Y sono reciprocamente indipendenti.

Esempio: una carta viene pescata da un mazzo di 52 carte. Se A = la carta è di cuori, B = la carta è un Re e A ⋂ B = la carta è Re di Cuori, quindi eventi A ed B sono dipendenti

NUMERO FAVOREVOLE DI CASI: Il numero dei casi che consentono di processare un evento in un processo è il numero totale di eventi primari che l'aspetto di uno qualsiasi di essi assicura il verificarsi dell'evento.

Cosa si intende per probabilità 

Se si verifica una dimostrazione arbitraria n risultati incongrui, ugualmente probabili ed esaustivi, dai quali m sono favorevoli al verificarsi di un evento A, quindi la probabilità che si verifichi A è dato da

CodiceCogsEqn 2

Notazione di probabilità: P (X) = m / n

Per due eventi X e Y,

(i) X′ o X  o XC indica per la non occorrenza o negazione di X.

(ii)X ∪ Y significa che si verifica almeno uno qualsiasi tra X e Y.

(iii)X ∩ Y significa per l'occorrenza simultanea di X e Y.

(iv) X ′ ∩ Y ′ significa per la non ricorrenza dell'uno e dell'altro X e Y.

(v) X⊆ Y significa che “il verificarsi di X indica il verificarsi di Y”.

Esempio: Un secchio contiene 6 biglie rosse e 7 nere. Trova la probabilità di disegnare biglie di colore rosso. 

Soluzione: totale n. di possibili modi per ottenere 1 biglia = 6 + 7

 Numero di modi per ottenere 1 biglia rossa = 6 

Probabilità = (Numero di casi favorevoli) / (Numero totale di casi esaustivi) = 6/13

Esempio: Da un mazzo di 52 carte, viene estratta 1 carta a caso. Trova la probabilità di ottenere una carta regina.

Soluzione: una carta regina può essere scelta in 4 modi.

 Numero totale di modi per selezionare 1 carta regina = 52 

Probabilità = Numero di casi favorevoli / Numero totale di casi esaustivi = 4/52 = 1/13

Esempio: Trova la probabilità di lancio:

(a) ottenere 4, (b) un numero dispari, (c) un numero pari 

con un normale dado (sei facce). 

Soluzione: Il problema è il problema dei dadi

a) Quando si lancia un dado c'è solo un modo per ottenerne 4.

Probabilità = Numero di casi favorevoli / Numero totale di casi esaustivi = 1/6

b) Il numero di modi per cadere un numero dispari è 1, 3, 5 = 3

Probabilità = Numero di casi favorevoli / Numero totale di casi esaustivi = 3/6 = 1/2

c) Il numero di modi per abbassare un numero pari è 2, 4, 6 = 3

Probabilità = Numero di casi favorevoli / Numero totale di casi esaustivi = 3/6 = 1/2

Esempio: Qual è la possibilità di trovare un re e una regina, quando 2 carte vengono estratte da un mazzo di 52 carte da gioco?

Soluzione:   2 carte possono essere estratte da un mazzo di 52 carte = 52C2 (52 scegli 2) modi

52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326

1 carta regina può essere scelta da 4 carte regina = 4C1= 4 modi (4 scegli 1) 

1 carta re può essere presa da 4 carte re = 4C1= 4 modi (4 scegli 1)

Casi favorevoli = 4 × 4 = 16 modi

P (pescare 1 carta regina e 1 carta re) = Numero di casi favorevoli / Numero totale di casi esaustivi = 16/1326 = 8/663

Esempio: Quali sono le possibilità di ottenere 4, 5 o 6 nel primo lancio e 1, 2, 3 o 4 nel secondo se i dadi vengono lanciati due volte. 

Soluzione:

Sia P (A) = probabilità di ottenere 4, 5 o 6 al primo tiro = 3/6 = 1/2

e P (B) = probabilità di ottenere 1, 2, 3 o 4 nel secondo lancio = 4/6 = 2/3

allora sii la probabilità degli eventi

Teoria della probabilità

Esempio: Un libro con un numero totale di 100 pagine, se una qualsiasi delle pagine è selezionata arbitrariamente. Qual è la possibilità che la somma di tutte le cifre del numero di pagina della pagina selezionata sia 11.

Soluzione:   Il numero di modi favorevoli per ottenere 11 sarà (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6 ), (6, 5)

Quindi probabilità richiesta = 8/100 = 2/25

Esempio: Un secchio contiene 10 biglie bianche, 6 rosse, 4 nere e 7 blu. 5 biglie vengono estratte a caso. Qual è la probabilità che 2 di loro siano di colore rosso e uno di colore nero?

Soluzione:  

N. Totale di biglie = 10 + 6 + 4 + 7 = 27

5 biglie possono essere estratte da queste 27 biglie = 27 scegli 5 modi

= 27C5=27!/

5!(27-5)!

=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730

N. Totale di eventi esaustivi = 80730

2 biglie rosse possono essere estratte da 6 biglie rosse = 6 vie

= 6C2=6!/

2!(6-2)!

=(6*5)/2=15

1 biglia nera può essere estratta da 4 biglie nere = 4 scegli 1 via = 4C1=4

∴ Numero di casi favorevoli = 15 × 4 = 60

Quindi probabilità richiesta = Numero di casi favorevoli Numero totale di casi esaustivi

Conclusione:

   Il teoria della probabilità è molto interessante e applicabile nella nostra vita quotidiana probabilità teoria ed esempi ci sembrano familiari, questa è in realtà una teoria completa che viene utilizzata ormai da giorni in numerose tecnologie e applicazioni, questo articolo era solo un assaggio del concetto di probabilità gli articoli consecutivi tratteranno del concetto di dettaglio e dei risultati di Probabilità , per ulteriori studi, fare riferimento al libro di seguito:

Rif: Schemi di probabilità e statistica di Schaum.

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