Inverse Gammaverteilung: 21 wichtige Fakten

Inverse Gammaverteilung und Momenterzeugungsfunktion der Gammaverteilung

      In Fortsetzung der Gammaverteilung werden wir das Konzept der inversen Gammaverteilung und der Momenterzeugungsfunktion, das Maß für den Mittelwert der zentralen Tendenzen, den Modus und den Median der Gammaverteilung sehen, indem wir einige der grundlegenden Eigenschaften der Gammaverteilung befolgen.

Gammaverteilungseigenschaften

Einige der wichtige Eigenschaften der Gammaverteilung werden wie folgt eingetragen

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Gammaverteilung ist

gif

or

gif

wo die Gammafunktion ist

gif

2. Die kumulative Verteilungsfunktion für die Gammaverteilung ist

gif

wobei f (x) die oben angegebene Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist, insbesondere cdf

gif

und

gif

jeweils oder

E [X] = α * β

und

gif
  • Die Momenterzeugungsfunktion M (t) für die Gammaverteilung ist
gif

or

gif
  • Die Kurve für pdf und cdf ist
Inverse Gammaverteilung
  • Die inverse Gammaverteilung kann definiert werden, indem der Kehrwert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gammaverteilung als genommen wird
gif
  • Die Summe der unabhängigen Gammaverteilung ist wieder die Gammaverteilung mit der Summe der Parameter.

inverse Gammaverteilung normale inverse Gammaverteilung

                Wenn in der Gammaverteilung in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

or

gif

Nehmen wir die Variable reziprok oder invers, dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Somit ist bekannt, dass die Zufallsvariable mit dieser Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die inverse Gamma-Zufallsvariable oder die inverse Gammaverteilung oder die invertierte Gammaverteilung ist.

y%29%5Cleft%20%7C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20y%7Dy%5E%7B 1%7D%20%5Cright%20%7C
%5Cbeta%20y%29%7Dy%5E%7B 2%7D
y%7D

Die obige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in jedem Parameter, den wir entweder in Form von Lambda oder Theta annehmen können, ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die der Kehrwert der Gammaverteilung ist, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der inversen Gammaverteilung.

Kumulative Verteilungsfunktion oder cdf der inversen Gammaverteilung

                Die kumulative Verteilungsfunktion für die inverse Gammaverteilung ist die Verteilungsfunktion

gif

wobei f (x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der inversen Gammaverteilung als ist

Mittelwert und Varianz der inversen Gammaverteilung

  Der Mittelwert und die Varianz der inversen Gammaverteilung unter Befolgung der üblichen Definition von Erwartung und Varianz sind

gif

und

gif

Mittelwert und Varianz des inversen Gammaverteilungsnachweises

        Ermittlung des Mittelwerts und der Varianz der inversen Gammaverteilung mithilfe der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

und die Definition von Erwartungen finden wir zuerst die Erwartung für jede Potenz von x als

gif
gif.latex?%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%20%5E%7Bn%7D%5Ctau%20%28%5Calpha n%29%7D%7B%28%5Calpha%20 1%29..
gif.latex?%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%20%5E%7Bn%7D%7D%7B%28%5Calpha%20 1%29..

im obigen Integral haben wir die Dichtefunktion als verwendet

jetzt für den Wert von α größer als eins und n als eins

gif

In ähnlicher Weise ist der Wert für n = 2 für Alpha größer als 2

gif

Wenn wir diese Erwartungen verwenden, erhalten wir den Wert der Varianz als

gif

Inverses Gammaverteilungsdiagramm | Inverses Gammaverteilungsdiagramm

                Die inverse Gammaverteilung ist der Kehrwert der Gammaverteilung, so dass es während der Beobachtung der Gammaverteilung gut ist, die Natur der Kurven der inversen Gammaverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als zu beobachten

und die kumulative Verteilungsfunktion durch Folgen

gif
Inverse Gammaverteilung
Inverses Gammaverteilungsdiagramm

Beschreibung: Graphen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und kumulative Verteilungsfunktion, indem der Wert von α auf 1 festgelegt und der Wert von β variiert wird.

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von α als 2 und Variieren des Werts von β

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von α als 3 und Variieren des Werts von β.

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von β als 1 und Variieren des Werts von α.

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von β als 2 und Variieren des Werts von α

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von β als 3 und Variieren des Werts von α.

Momenterzeugungsfunktion der Gammaverteilung

Bevor wir das Konzept der Momenterzeugungsfunktion für die Gammaverteilung verstehen, erinnern wir uns an ein Konzept der Momenterzeugungsfunktion

Moments

    Der Augenblick des zufällige Variable wird mit Hilfe von Erwartung als definiert

gif

Dies ist als r-tes Moment der Zufallsvariablen X bekannt. Es ist das Moment um den Ursprung und allgemein als Rohmoment bekannt.

     Nehmen wir den r-ten Moment der Zufallsvariablen um den Mittelwert μ als

gif

Dieser Moment um den Mittelwert ist als zentrales Moment bekannt und die Erwartung entspricht der Natur der Zufallsvariablen als

gif
gif

im zentralen Moment, wenn wir Werte von r setzen, erhalten wir einige anfängliche Momente als

em%3E%7B1%7D%3D0%20%2C%20%7B%5Cmu%7D %7B2%7D%3D%5Csigma%20%5E%7B2%7D

Wenn wir die Binomialerweiterung in den zentralen Momenten nehmen, können wir leicht die Beziehung zwischen den zentralen und rohen Momenten als erhalten

em%3E%7Br j%7D%7B%5Cmu%7D%5E%7Bj%7D%20+%20..

Einige der anfänglichen Beziehungen sind wie folgt

Momenterzeugungsfunktion

   Die Momente, die wir mit Hilfe einer Funktion erzeugen können, ist als Momenterzeugungsfunktion bekannt und definiert als

gif

Diese Funktion erzeugt die Momente mit Hilfe der Erweiterung der Exponentialfunktion in einer der beiden Formen

gif

mit Taylors Form als

em%3E%7Br%7D%5Cfrac%7Bt%5E%7Br%7D%7D%7Br%21%7D+.

Die Differenzierung dieser erweiterten Funktion in Bezug auf t ergibt die verschiedenen Momente als

em%3E%7BX%7D%28t%29%5Clvert %7Bt%3D0%20%7D

auf eine andere Weise, wenn wir die Ableitung direkt als nehmen

gif

da für beide diskret

gif

und kontinuierlich haben wir

gif

also für t = 0 werden wir bekommen

gif

Gleichfalls

gif

as

gif

und allgemein

gif

Für den Moment gibt es zwei wichtige Beziehungen, die Funktionen erzeugen

b%29%20%5C%20M %7B%28X+Y%29%7D%28t%29%3DM %7BX%7D%28t%29%20M %7BY%7D%28t%29

Momenterzeugungsfunktion einer Gammaverteilung mgf der Gammaverteilung Momenterzeugungsfunktion für die Gammaverteilung

Nun zum Gamma Verteilung der momenterzeugenden Funktion M(t) für das pdf

is

gif

und für das pdf

Die Momenterzeugungsfunktion ist

gif

Gammaverteilungsmoment erzeugender Funktionsnachweis | mgf Gammaverteilungsnachweis

    Nehmen Sie nun zunächst die Form der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als an

und unter Verwendung der Definition der Momenterzeugungsfunktion M (t), die wir haben

gif
gif

Wir können den Mittelwert und die Varianz der Gammaverteilung mit Hilfe der Momenterzeugungsfunktion als Differenzierung in Bezug auf t zweimal diese Funktion finden, die wir erhalten werden

gif

Wenn wir t = 0 setzen, ist der erste Wert

gif

und

gif

Setzen Sie nun den Wert dieser Erwartung ein

gif

alternativ für das pdf des formulars

gif

Die Momenterzeugungsfunktion wird sein

%5Cbeta%20%29%7D%20x%5E%7B%5Calpha%20 1%7D%20dx%20%5C%20%3D%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1 %5Cbeta%20t%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B%5Calpha%20%7D%5Cint %7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7By%5E%7B%5Calpha%20 1%7D%20e%5E%7B y%7D%7D%7B%5Ctau%20%28%5Calpha%20%29%7D%20dy%20%5C%20%5C%20%2C%20%5C%20%5C%20t%26lt%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cbeta%20%7D%20%5C%20%3D%20%281 %5Cbeta%20t%29%5E%7B %5Calpha%20%7D%20%5C%20%5C%20t%26lt%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cbeta%20%7D

und Differenzieren und Setzen von t = 0 ergibt Mittelwert und Varianz wie folgt

gif

2. Moment der Gammaverteilung

   Das zweite Moment der Gammaverteilung durch zweimaliges Differenzieren der Momenterzeugungsfunktion und Setzen des Wertes von t = 0 in die zweite Ableitung dieser Funktion erhalten wir

gif

dritter Moment der Gammaverteilung

                Das dritte Moment der Gammaverteilung können wir finden, indem wir die Momenterzeugungsfunktion dreimal differenzieren und den Wert von t = 0 in die dritte Ableitung des erhaltenen mgf setzen

gif

oder direkt durch Integration als

gif

 Sigma für die Gammaverteilung

   Sigma oder Standardabweichung der Gammaverteilung können wir finden, indem wir die Quadratwurzel der Varianz der Gammaverteilung vom Typ ziehen

gif

or

gif

für jeden definierten Wert von Alpha, Beta und Lambda.

charakteristische Funktion der Gammaverteilung charakteristische Funktion der Gammaverteilung

      Wenn die Variable t in der Momenterzeugungsfunktion eine rein imaginäre Zahl als t = iω ist, ist die Funktion als die charakteristische Funktion der Gammaverteilung bekannt, die als bezeichnet und ausgedrückt wird

gif

Wie für jede Zufallsvariable ist die charakteristische Funktion

gif

Somit ist für die Gammaverteilung die charakteristische Funktion durch Befolgen des PDF der Gammaverteilung

gif

Folgende

%5Cbeta%20%29%5E%7B %5Calpha%20%7D%5Cint %7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B%5Calpha%20 1%7De%5E%7B x%7D%20dx%3D%5Ctau%20%28%5Calpha%20%29%5Cbeta%20%5E%7B%5Calpha%20%7D%281 i%5Cbeta%20t%29%5E%7B %5Calpha%20%7D

Es gibt auch eine andere Form dieser Merkmalsfunktion, wenn

2%7D

dann

2%7D

Summe der Gammaverteilungen Summe der Exponentialverteilung Gamma

  Um das Ergebnis der Summe der Gammaverteilung zu kennen, müssen wir zunächst die Summe unabhängiger Zufallsvariablen für die verstehen stetige Zufallsvariable, dafür lassen Sie uns Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für die haben stetige Zufallsvariables X und Y, dann ist die kumulative Verteilungsfunktion für die Summe der Zufallsvariablen

gif

Die Differenzierung dieser Integralfaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von X und Y ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Summe der Zufallsvariablen als

em%3E%7B %5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7DF %7BX%7D%28a y%29f %7BY%7D%28y%29%20dy%20%5C%20%3D%20%5Cint %7B %5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20a%7DF %7BX%7D%28a y%29f %7BY%7D%28y%29%20dy%20%5C%20%3D%20%5Cint %7B %5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df %7BX%7D%28a y%29f %7BY%7D%28y%29%20dy

Lassen Sie uns nun beweisen, dass wenn X und Y die Gamma-Zufallsvariablen mit entsprechenden Dichtefunktionen sind, die Summe auch eine Gammaverteilung mit der Summe derselben Parameter ist

unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Form

für die Zufallsvariable X nimm Alpha als s und für die Zufallsvariable Y nimm Alpha als t, also benutze die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Summe der Zufallsvariablen, die wir haben

em%3E%7B0%7D%5E%7Ba%7D%5Clambda%20e%5E%7B %5Clambda%20%28a y%29%7D%20%28%5Clambda%20%28a y%29%29%5E%7Bs 1%7D%5Clambda%20e%5E%7B %5Clambda%20y%7D%20%28%5Clambda%20y%29%5E%7Bt 1%7D%20dy

hier ist C unabhängig von a, jetzt ist der Wert

gif

welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Summe von X und Y darstellen und welche von der Gammaverteilung ist, daher repräsentiert die Summe der Gammaverteilung auch die Gammaverteilung durch die jeweilige Summe von Parametern.

Art der Gammaverteilung

    Um den Modus der Gammaverteilung zu finden, betrachten wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als

Differenzieren Sie nun dieses PDF in Bezug auf x, wir erhalten die Differenzierung als

gif

Dies ist Null für x = 0 oder x = (α -1) / λ

das sind also nur kritische Punkte bei der unsere erste Ableitung null sein wird, wenn alpha größer oder gleich null ist, dann ist x = 0 kein Modus, da dies pdf zu Null macht, sodass der Modus (α -1) / λ ist

und für Alpha, das streng kleiner als eins ist, nimmt die Ableitung von unendlich auf null ab, wenn x von null auf unendlich zunimmt, so dass dies nicht möglich ist, daher ist die Art der Gammaverteilung

gif

Median der Gammaverteilung

Der Median der Gammaverteilung kann mit Hilfe der inversen Gammaverteilung als ermittelt werden

gif

or

gif

vorausgesetzt

gif

was gibt

gif.latex?median%28n%29%3Dn+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B8%7D%7B405n%7D%20 %5Cfrac%7B64%7D%7B5103n%5E%7B2%7D%7D+..

Gammaverteilungsform

     Die Gammaverteilung nimmt abhängig vom Formparameter unterschiedliche Formen an, wenn der Formparameter eine Gammaverteilung ist, die der Exponentialverteilung entspricht. Wenn wir jedoch den Formparameter variieren, nimmt die Schiefe der Kurve der Gammaverteilung mit zunehmendem Form mit zunehmendem Formparameter ab Die Form der Kurve der Gammaverteilung ändert sich gemäß der Standardabweichung.

Schiefe der Gammaverteilung

    Die Schiefe einer Verteilung kann beobachtet werden, indem die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dieser Verteilung und der Schiefekoeffizient beobachtet werden

em%3E%7B3%7D%7D%7B%5Csigma%20%5E%7B3%7D%7D

für die Gammaverteilung haben wir

gif.latex?E%28X%5E%7Bk%7D%29%3D%5Cfrac%7B%28%5Calpha%20+k 1%29%28%5Calpha%20+k 2%29..

so

gif

Dies zeigt, dass die Schiefe nur dann von Alpha abhängt, wenn Alpha bis zur Unendlichkeitskurve ansteigt, symmetrischer und schärfer ist und wenn Alpha auf Null geht, ist die Gammaverteilungsdichtekurve positiv verzerrt, was in den Dichtediagrammen beobachtet werden kann.

verallgemeinerte Gammaverteilung Form- und Skalenparameter in der Gammaverteilung Gammaverteilung mit drei Parametern | multivariate Gammaverteilung

gif

Dabei sind γ, μ und β jeweils die Form-, Orts- und Skalenparameter. Durch Zuweisen spezifischer Werte zu diesen Parametern können wir die Gammaverteilung mit zwei Parametern erhalten. Insbesondere wenn wir μ=0, β=1 setzen, erhalten wir die Standard-Gammaverteilung als

gif

Unter Verwendung dieser 3-Parameter-Gammaverteilungswahrscheinlichkeitsdichtefunktion können wir die Erwartung und Varianz finden, indem wir ihrer Definition folgen.

Fazit:

Das Konzept des Kehrwerts der Gammaverteilung also inverse Gammaverteilung Im Vergleich zur Gammaverteilung und Messung der zentralen Tendenzen der Gammaverteilung mit Hilfe der Momenterzeugungsfunktion standen im Mittelpunkt dieses Artikels, wenn Sie weitere Informationen benötigen, lesen Sie die vorgeschlagenen Bücher und Links. Weitere Beiträge zur Mathematik finden Sie auf unserer Mathematik-Seite.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH